Question

мат анализ. Доказать равенство. Помогите пожалуйста ​

Answer 1

Для начала докажем неравенство $n!>(\frac{n}{3})^n$ методом математической индукции. При n = 1 неравенство имеет место. Далее, если оно имеет место при n, то для n+1 имеем

$(n+1)!>n!(n+1)>(\frac{n}{3})^n(n+1)=(\frac{n+1}{3})^{n+1}\cdot \frac{3}{(1+\frac{1}{n})^n}>(\frac{n+1}{3})^{n+1}.$

Последнее неравенство справедливо, так как

$(1+\frac{1}{n})^n=1+\frac{n}{n}+\frac{n(n-1)}{2!}\cdot \frac{1}{n^2}+...+\frac{n(n-1)...(n-n+1)}{n!}\cdot \frac{1}{n^n}=\\ \\ =1+1+\frac{1}{2!}(1-\frac{1}{n})+...+\frac{1}{n!}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})...(1-\frac{n-1}{n})< \\ \\ <1+1+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!}<1+1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2^{n-1}}<\\ \\ <1+1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2^{n-1}}+...=1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=3$

Существование и равенство нулю предела вытекает из неравенства

$0<\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}<\frac{1}{\sqrt[n]{(\frac{n}{3})^n}}=\frac{3}{n}<\varepsilon$ справедливого $\forall \varepsilon>0$ при всех $n>\frac{3}{\varepsilon}$.