Question

Вася вписал в таблицу 2020×2020 натуральные числа от 1 до 20202
следующим образом: в первой
строке числа от 1 до 2020, во второй — от 2021 до 4040, в третьей — от 4041 до 6060, и т.д. Далее
он просуммировал числа в каждом столбце и получил 2020 новых чисел. Петя расставляет между
этими 2020 числами знаки + и −. Какое самое близкое к нулю число он может получить?

Answer 1

Пусть сумма чисел в первом столбце равна S.

Тогда, сумма чисел во втором столбце равна S+2020, так как каждое из чисел этого столбца на 1 больше соответствующего числа из первого столбца. По аналогии, сумма чисел в третьем столбце равна S+2·2020, и так далее, сумма чисел в последнем столбце равна S+2019·2020.

Таким образом, был получен набор чисел:

S, S+2020, S+2·2020, S+3·2020, ..., S+2019·2020.

Покажем, что между ними можно расставить знаки "+" и "-" так, чтобы сумма чисел в точности была равна нулю.

Перед крайними слева и справа числами S и S+2019·2020 поставим знаки "+". Перед соседними с ними числами S+2020 и S+2018·2020 поставим знаки "-". Заметим, что сумма четырех рассмотренных чисел равна нулю:

S + (S+2019·2020) - (S+2020) - (S+2018·2020) = 0

Таким образом, знаки при движении от левого числа к середине и от правого края к середине будут чередоваться: "+", "-", "+", "-", ..., "-", "+".

Однако, в середине этой суммы знаки "встретятся" и в результате этого в сумме будут находиться такие слагаемые:

... + (S+1008·2020) - (S+1009·2020) - (S+1010·2020) + (S+1011·2020) - ...

В результате такой расстановки знаков, сумма чисел окажется равна нулю.

Ответ: 0