Question

Сколько существует способов расставить в ряд 5 шариков белого, красного, синего, жёлтого и зелёного цветов так, чтобы между зелёным и жёлтым шариками стояло не более одного шарика? Есть всего 5 шариков по одному каждого цвета.

Answer 1

Определим общее число расстановок на пяти позициях 5 шариков:

$5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120$

Однако, среди этих расстановок есть недопустимые (то есть те, при которых между зеленым и желтым шариком располагаются два или более шарика). Найдем число недопустимых расстановок.

Найдем число недопустимых размещений зеленого и желтого шарика. Их можно просто перечислить:

1) зеленый на 1-ом месте, желтый на 4-ом месте

2) зеленый на 1-ом месте, желтый на 5-ом месте

3) зеленый на 2-ом месте, желтый на 5-ом месте

4) зеленый на 4-ом месте, желтый на 1-ом месте

5) зеленый на 5-ом месте, желтый на 1-ом месте

6) зеленый на 5-ом месте, желтый на 1-ом месте

В каждом из этих случаев оставшиеся три шарика могут размещаться на свободных местах $3!=3\cdot2\cdot1=6$ способами.

Таким образом, всего имеется $6\cdot6=36$ недопустимых расстановок.

Значит, допустимых расстановок имеется:

$120-36=84$

Ответ: 84