Question

Побудувати графік функції y=√(4+4x+x^2 )-√(4-4x+x^2 ).

Answer 1

$y = \sqrt{4 + 4x + {x}^{2} } - \sqrt{4 - 4x + {x}^{2} } \\ y = \sqrt{ {x}^{2} + 4x + 4 } - \sqrt{ {x}^{2} - 4x + 4} \\ y = \sqrt{(x + 2) {}^{2} } - \sqrt{(x - 2) {}^{2} } \\ y = |x + 2| - |x - 2|$

Чтобы правильно раскрыть модули, найдём их нули:

$x + 2 = 0 \\ x_{1} = - 2$

$x - 2 = 0 \\ x_{2} = 2$

Получили две точки, которые "разбивают" всю область определения на 3 промежутка, на каждом из которых выбираем любую точку, подставляем её в модули и смотрим на знак:

1)

$x \in ( - \infty ; - 2) \\ x_{0} = - 3 \\ y(x_{0}) = | - 3 + 2| - | - 3 - 2| = | - 1| - | - 5| \\ y = - (x + 2) - ( - (x - 2)) \\ y = - x - 2 + (x - 2) \\ y = - x - 2 + x - 2 \\ y = - 4$

2)

$x \in [ - 2;2) \\ x_{0} = 0 \\ y(x_{0} ) = |x + 2| - |0 - 2| = |2 - | - 2| | \\ y = (x + 2) - ( -(x - 2)) \\ y = x + 2 + x - 2 \\ y = 2x$

3)

$x \in [2; + \infty ) \\ x_{0} = 3 \\ y( x_{0}) = |3 + 2| - |3 - 2| = |5| - |1| \\ y = (x + 2) - (x - 2) \\ y = x + 2 - x + 2 \\ y = 4$

В результате мы получили кусочно-линейную функцию на трёх промежутках. Осталось её нарисовать на графике.