Question

Дана возрастающая последовательность из 8 действительных чисел. Диана выписала всевозможные последовательности из 4 чисел, идущих в ней подряд. Оказалось, что две из пяти новых последовательностей являются арифметическими прогрессиями с разностями 4 и 16 соответственно, а одна из последовательностей является геометрической прогрессией. Найдите наибольшее из данных 8 чисел. Укажите все возможные варианты.

Если ответом являются несколько чисел, то они вводятся все — каждое число в отдельное поле ввода в произвольном порядке.

Answer 1

Ответ:

4, 64.

Пошаговое объяснение:

Очевидно, арифметические прогрессии с разными разностями не могут содержать больше, чем одно общее число.

Второе наблюдение: непостоянная арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия не могут иметь больше двух общих членов.

Действительно, пусть x - d, x и x + d - геометрическая прогрессия (это арифметическая прогрессия по построению). Тогда

$(x - d)(x + d) = x^2\\x^2-d^2=x^2\\d^2=0\\d=0$

Если бы у арифметических прогрессий был бы общий член, то любая другая подпоследовательность длины 4 содержала бы как минимум 3 члена одной из этих прогрессий. Значит, арифметические прогрессии не имеют общих членов.

Остается два варианта:

1) Последовательность: x - 12, x - 8, x - 4, x, y, y + 16, y + 32, y + 48.

Геометрическая прогрессия: x - 4, x, y, y + 16. Условие того, что это геометрическая прогрессия:

$\begin{cases}(x-4)y=x^2\\x(y+16)=y^2\end{cases}$

$y^4=(y+16)^2\cdot x^2=y(y+16)^2(x-4)=y(y+16)(x(y+16)-4(y+16))=\\=y(y+16)(y^2-4y-64)$

$y(y+16)(y^2-4y-64)-y^4=0\\12 y^3 - 128 y^2 - 1024 y=0\\4y (3 y^2 - 32 y - 256)=0$

Корень первого сомножителя y = 0. Ищем корни скобки:

$D/4=16^2+3\cdot256=256+3\cdot256=4\cdot256=2^2\cdot16^2=32^2\\y=\dfrac{16\pm32}3\in\left\{-\dfrac{16}3,16\right\}$

Итак, y = -16/3, 0 и 16. Им соответствуют

$x=\dfrac{y^2}{y+16},$

x = 8/3, x = 0 и x = 8, соответственно. Первые два варианта не подходят, при этом последовательность не получается возрастающей. Остается единственный вариант: x = 8, y = 16. Тогда последовательность имеет вид:

-4, 0, 4, 8, 16, 32, 48, 64.

2) Последовательность: x - 48, x - 32, x - 16, x, y, y + 4, y + 8, y + 12.

Геометрическая прогрессия: x - 16, x, y, y + 4. Условие того, что это геометрическая прогрессия:

$\begin{cases}(x-16)y=x^2\\x(y+4)=y^2\end{cases}$

Заметим, что если поменять x на -y, а y на -x, то получится точно такая же система, что и в первом случае. Тогда и решения её известны: (-16, -8), (0, 0) и (16/3, -8/3).

Вновь только первое решение соответствует возрастающей последовательности:

-64, -48, -32, -16, -8, -4, 0, 4.