Question

8. Найдите НОД (m, n), если НОК (m, n) = 120 и m - n = 360
A) 15: В) 5;
C) 3; D) 6. решите пж с решением.​

Answer 1

Ответ:

Так не бывает.

Пошаговое объяснение:

Пусть НОД(m, n) = d. Тогда найдутся такие взаимно простые a и b, что m = ad и n = bd; при этом НОК(m, n) = abd.

По условию abd = 120; (a - b)d = 360.

(a - b)d = 360 = 3 * 120 = 3abd

a - b = 3ab

a - 3ab - b = 0

3a - 9ab - 3b = 0

3a - 9ab - 3b + 1 = 1

3a(1 - 3b) + (1 - 3b) = 1

(3a + 1)(1 - 3b) = 1

1 = 1 * 1 или (-1) * (-1); первый случай реализуется, только если a = b = 0, а второй невозможен ни при каких целых a и b.

______________

Если бы в условии вместо разности m и n было бы произведение, всё было бы проще.

НОД(x, y) НОК(x, y) = xy для любых целых x и y, так что НОД(m, n) = nm / НОК(m, n) = 360 / 120 = 3