Question

В треугольнике ABC длина биссектрисы AL равна l; в треугольник ABL вписана окружность, касающаяся стороны AB в точке K, BK = b. На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно так, что прямая MN проходит через центр окружности, вписанной в треугольник ABC, причем MB + BN = c. Найдите отношение площадей треугольников ABL и MBN.

Answer 1

Площади треугольников с равным углом

S(ABL)/S(MBN) = AB*BL/MB*BN

По теореме об отрезках касательных из одной точки

BK =P(ABL)/2 -AL => AB+BL =2b +l

(Пусть K, X, Y - точки касания. BK=BY, AK=AX, LX=LY.

Полупериметр =BK+AX+LX =BK+AL)

Формула биссектрисы:  L_c =2ab*cos(C/2)/(a+b)

Треугольники ABL и MBN имеют общую биссектрису BI из общего угла.

AB*BL/(AB+BL) =MB*BN/(MB+BN) =>

AB*BL/MB*BN =(AB+BL)/(MB+BN) =(2b +l)/c

S(ABL)/S(MBN) =(2b +l)/c