Question

7-5. Одна (и только одна) из цифр пятизначного числа — двойка. Если вычеркнуть
двойку, то число уменьшится ровно в 9 раз. На каком месте стоит двойка? Найдите все
числа, обладающие этим свойством.​
25 баллов

Answer 1

Покажем, что последняя цифра не может быть двойкой. Действительно, если это так, то пусть $u=x/9$. Тогда $10u=10x/9>x$, но поскольку эти числа отличаются лишь последней цифрой (и 2>0), то $10x/9<x$, противоречие.

Это был один из способов начать рассуждение, которое, однако, вряд ли к чему либо приведет.

Рассмотрим другой подход. Заметим, что $9x=10x-x$. Пусть исходное число построено так: $\overline{abcde}$. Пусть $c=2$. Тогда $\overline{abced}=9\times \overline{abed}=\overline{abed0}-\overline{abed}\leq \overline{a[b-1]ed0}<\overline{abced}$, противоречие. Аналогично доказывается для любой позиции двойки в числе, кроме второй слева. Идея состоит в том, что вычитаемое четырехзначное число достает таким образом до позиции, которая остается в числе, а значит, нарушает равенство. Остается лишь сделать так, чтобы эта позиция исчезала. Собственно, поставить двойку на вторую позицию

Теперь рассмотрим вычитание столбиком:

$\overline{acde0}-\overline{acde}=\overline{a2cde}$, откуда ясно, что $e=5$, $d=2$ или $7$, но два быть не может, поскольку у нас ровно одна двойка, $c=3$ или $8$, наконец $a=1$ или $5$.

Получаем два числа: $12375$ и $52875$.