На доске написано 29 различных чисел. Полина к некоторым числам прибавила 1, к некоторым — 12, а ко всем оставшимся — 123. Среди новых 29 чисел могли появиться одинаковые. Какое наименьшее количество различных чисел могло быть среди новых чисел?
Ответы
Ответ:
10
Пошаговое объяснение:
1. Докажем, что больше 3 одинаковых чисел получиться не могло.
Заметим, что если к двум разным числам прибавить одно и то же, то получатся разные числа. Тогда если числа получились одинаковыми, то к ним прибавляли разные числа,
а разных чисел, которые можно было прибавлять, всего 3 (а именно 1, 12 и 123)
2. Докажем, что различных чисел получилось не менее 10.
Если бы различных чисел было не более 9, то все числа разбивались бы на
9 или меньше групп одинаковых чисел, причем в каждой группе, как мы уже доказали,
не больше 3 чисел. Тогда всего было бы не более 3⋅9=27 чисел, но у нас 29 чисел. Значит различных чисел точно больше 9. То есть минимум 10. Подберём пример для десяти.
Пусть изначально были числа:
1, 2, 3, 4, 5,6,7,8,9,10,
124, 125,126, 127, 128, 129,130, 131, 132, 133,
112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120
К первой группе из десяти чисел добавим 123, ко второй группе из десяти чисел добавим 1, к третьей группе - 12. Получим числа
124, 125,126, 127, 128, 129,130, 131, 132, 133,
124, 125,126, 127 ,128, 129,130, 131, 132, 133,
124, 125,126, 127, 128, 129,130, 131, 132.
- это 10 различных чисел
То есть 10 получиться может. И меньше 10 быть не может. Значит 10 - минимальное.