Question

Решите СЛАУ матричным методом
Помогите пожалуйста

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$A=\begin{pmatrix}1 &0 &1 \\ 0& 2 &-1 \\ 3 &-1 & 0 \end{pmatrix}$

$B=\begin{pmatrix}4\\ 1\\ 1\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{pmatrix}$

A · X = B

значит

X = A⁻¹ · B

$\Delta =\begin{vmatrix}1 &0 &1 \\ 0 & 2 &-1 \\ 3 &-1 & 0 \end{vmatrix}=0-6-1=-7\neq0$

Найдём обратную матрицу. Вычисляем алгебраические дополнения, вычеркиваем 1ю строку и 1й столбец

$M_{11}=\begin{vmatrix} 2&-1 \\ -1& 0 \end{vmatrix}=-1\\A_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=-1$

$M_{12}=\begin{vmatrix} 1&-1 \\ 3& 0 \end{vmatrix}=3\\A_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-3$

$M_{13}=\begin{vmatrix} 0&2 \\ 3& -1 \end{vmatrix}=-6\\A_{13}=(-1)^{1+3}M_{13}=-6$

$M_{21}=\begin{vmatrix} 0&1 \\ -1& 0 \end{vmatrix}=1\\A_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-1$

$M_{22}=\begin{vmatrix} 1&1 \\ 3& 0 \end{vmatrix}=-3\\A_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=-3$

$M_{23}=\begin{vmatrix} 1&0 \\ 3&-1 \end{vmatrix}=-1\\A_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=1$

$M_{31}=\begin{vmatrix} 0&1 \\ 2&-1 \end{vmatrix}=-2\\A_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=-2$

$M_{32}=\begin{vmatrix} 1&1 \\ 0&-1 \end{vmatrix}=-1\\A_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=1$

$M_{33}=\begin{vmatrix} 1&0 \\ 0&2 \end{vmatrix}=2\\A_{33}=(-1)^{3+3}M_{33}=2$

Выпишем союзную матрицу (матрицу алгебраических дополнений):

$C^{*}=\begin{pmatrix}-1&-3 &-6 \\ -1 & -3 &1 \\ -2 &1 & 2 \end{pmatrix}$

Теперь транспонированную союзную:

$C^{*T}=\begin{pmatrix}-1&-1 &-2 \\ -3 & -3 &1 \\ -6 &1 & 2 \end{pmatrix}$

Найдем обратную матрицу:

$A^{-1}=\frac{C^{*T}}{\Delta }=\begin{pmatrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7} &\frac{2}{7} \\ \frac{3}{7} & \frac{3}{7} &-\frac{1}{7} \\ \frac{6}{7} &-\frac{1}{7} &-\frac{2}{7} \end{pmatrix}$

$X=A^{-1}*B=\frac{C^{*T}}{\Delta }=\begin{pmatrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7} &\frac{2}{7} \\ \frac{3}{7} & \frac{3}{7} &-\frac{1}{7} \\ \frac{6}{7} &-\frac{1}{7} &-\frac{2}{7} \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}4\\ 1\\ 1\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}\frac{1}{7}*4+\frac{1}{7}*1+\frac{2}{7}*1 \\ \frac{3}{7}*4+ \frac{3}{7}*1 -\frac{1}{7}*1 \\ \frac{6}{7}*4 -\frac{1}{7}*1 -\frac{2}{7}*1 \end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}1 \\ 2\\ 3 \end{pmatrix}$

$\left\{\begin{matrix}x_{1}=1 \\ x_{2}=2 \\ x_{3}=3\end{matrix}\right.$