Question

вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: только 9 Вариант пожалуйста
​

Answer 1

Условие:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

$y=0,5\cdot x^2+1;\\y=-x+0,5;\\x=-4;$

Решение:

Такая фигура называется криволинейной трапецией, а ее площадь находится по следующей формуле:

$S=\int\limits^b_a {[y_1(x)-y_2(x)]} \, dx$

Ограничивающие функции y₁(x) и y₂(x), а также левая граница интервала a = -4 нам известны по условию задачи. Чтобы найти правую границу b приравняем функции y₁(x) и y₂(x) и решим уравнение.

$0,5\cdot x^2+1=-x+0,5;\\0,5\cdot x^2+x+0,5=0;|\cdot 2\\x^2+2x+1=0\\\\D=2^2-4=0\\\\x_{1,2}=\frac{-2 \pm 0}{2}=-1$

Таким образом правая граница b = -1 найдена.

Найдем интеграл

$S=\int\limits^{-1}_{-4} {[0,5\cdot x^2+1-(-x+0,5)]} \, dx=\int\limits^{-1}_{-4} {[0,5\cdot x^2+x+0,5)]} \, dx=\\\\=(\frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{2}+0.5x )\bigg|^{-1}_{-4}=\frac{1}{6}\cdot (-1-(-64))+ \frac{1}{2}\cdot (1-16) +0,5\cdot (-1-(-4))=\\\\=\frac{63}{6} -\frac{15}{2}+\frac{3}{2} =\frac{21}{2} -\frac{12}{2}=\frac{9}{2} =4,5$

Ответ: S = 4,5