Question

розв'яжіть рівняння
$|x| + |x - 2| \leqslant 4$
​

Answer 1

Ответ:

$-1\leq x\leq 3$  или $x \in [-1;3]$

Объяснение:

Модуль раскрывается двумя вариантами: со знаком + или со знаком - . В этой задаче 2 модуля, следовательно максимум может быть 4 раскрытия.  

$|x|=\left \{ {{x, x\geq 0} \atop {-x,x<0}} \right.$

$|x-2|=\left \{ {{x-2, x\geq 2} \atop {2-x,x<2}} \right.$

На практике имеем 3 области:

$1) x\leq 0\\2) 0\leq x\leq 2\\3) x\geq 2$

Область $\left \{ {{x\leq 0} \atop {x\geq 2}} \right.$ не существует, т.к. нет пересечений у неравенств, задающих область.

Рассмотрим каждый из трех случаев:

$1) x\leq 0\\\\-x+2-x\leq 4\\-2x+2\leq 4\\-2x\leq 2\\\\x\geq -1$

Получили решение, лежащее в области: $-1\leq x\leq 0$

$2) 0\leq x\leq 2\\\\x+2-x\leq 4\\\\2\leq 4$

Получили неравенство, выполненное для любого x из этой области. Следовательно решение в этой области - сама область: $0\leq x\leq 2$

$3) x\geq 2\\\\x+x-2\leq 4\\2x-2\leq 4\\2x\leq 6\\\\x\leq 3$

Получили решение, лежащее в области: $2\leq x\leq 3$

"Сшиваем" полученные решение и получаем:

$-1\leq x\leq 3$  или $x \in [-1;3]$