Question

Даны векторы a,b и c. Необходимо: a)вычислить смешанное произведение трех векторов; б) найти модуль векторного произведения; в)вычислить скалярное произведение двух векторов; г) проверить будут ли колленеарны или ортогональны два вектора; д) проверить будут ли колленеарны три вектора.
a=2i-4j-2k, b=7i+3j; c=3i+5j-7k;
a)a,2b,3c; б) 3a,-7b; в) c,-2a; г)a,c; д)3a,2b,3c.

Answer 1

$\vec{a}=2i-4j-2k\ \ ,\ \ \vec{b}=7i+3j\ \ ,\ \ \vec{c}=3i+5j-7k\\\\1)\ \ 2\vec{b}=14i+6j\ \ ,\ \ 3\vec{c}=9i+15j-21k\\\\(\vec{a},2\vec{b},3\vec{c})=\left|\begin{array}{ccc}2&-4&-2\\14&6&0\\9&15&-21\end{array}\right|=2(-126)+4(-294)-2(210-54)=-1740$

$2)\ \ 3\vec{a}=6i-12j-6k\ \ ,\ \ -7\vec{b}=-49i-21j\\\\{}[\, 3\vec{a}\times (-7\vec{b})\, ]=\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\6&-12&-6\\-49&-21&0\end{array}\right|=-126\vec{i}+294\vec{j}-714\vec{k}\\\\\\|3\vec{a}\times (-7\vec{b})|=\sqrt{126^2+294^2+714^2}=\sqrt{612108}\approx 782,37$

$3)\ \ -2\vec{a}=-4i+16j+4k\\\\\vec{c}\cdot (-2\vec{a})=-3\cdot 4+5\cdot 16-7\cdot 4=40\\\\\\4)\ \ \vec{a}=(2,-4,-2)\ \ ,\ \ \vec{c}=(3,5,-7)\\\\\vec{a}\cdot \vec{c}=2\cdot 3-4\cdot 5+2\cdot 7=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \vec{a}\perp \vec{c}\\\\\dfrac{2}{3}\ne \dfrac{-4}{5}\ne \dfrac{-2}{-7}\ \ \Rightarrow \ \ \ \vec{a}\ ne\ \parallel \vec{c}$

Векторы  а  и  с  ортогональны, но не коллинеарны .

$5)\ \ 3\vec{a}=(6,-12,-6)\ ,\ 2\vec{b}=(14,6,0)\ ,\ 3\vec{c}=(9,15,-21)\\\\\\\left|\begin{array}{ccc}6&-12&-6\\14&6&0\\9&15&-21\end{array}\right|=-6\cdot 126+12\cdot 294-6\cdot 156=1836\ne 0\ \ \Rightarrow$

Векторы  3а , 2b , 3c  не компланарны .