Question

$\sqrt{2x-1} =x+3$

Answer 1

Ответ:

$x_{1}=-2+i\sqrt{6}, x_{2}=-2-i\sqrt{6};$

Объяснение:

ОДЗ:

$2x-1\geq0;$

$2x\geq1;$

$x\geq \frac{1}{2};$

$x\geq0,5;$

Решение:

Возведём в квадрат обе части уравнения:

$(\sqrt{2x-1})^{2}=(x+3)^{2};$

$(a+b)^{2}=a^{2}+2*a*b+b^{2};$

$2x-1=x^{2}+2*x*3+3^{2};$

$2x-1=x^{2}+6x+9;$

$x^{2}+6x+9=2x-1;$

Перенесём слагаемые 2x и -1 в левую часть уравнения, поменяв знаки на противоположные:

$x^{2}+6x+9-2x+1=0;$

Сгруппируем слагаемые:

$x^{2}+6x-2x+9+1=0;$

Приведём подобные слагаемые. Для этого вынесем x за скобки:

$x^{2}+(6-2)x+10=0;$

$x^{2}+4x+10=0;$

Это квадратное уравнение. Найдём его дискриминант:

$D=b^{2}-4*a*c;$

$a=1, b=4, c=10;$

$D=4^{2}-4*1*10=16-40=-24;$

Дискриминант меньше нуля. Это значит, что действительных корней у этого уравнения нет. Но мы можем найти комплексные (ударение на первую букву е).

$x_{1}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a};$

$x_{1}=\frac{-4+\sqrt{-24}}{2*1}=\frac{-4+\sqrt{-1*4*6}}{2}=\frac{\sqrt{-1}*\sqrt{4}*\sqrt{6}-4}{2}=\frac{2i\sqrt{6}-4}{2}=\frac{2i\sqrt{6}}{2}-\frac{4}{2}=i\sqrt{6}-2;$

$x_{2}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a};$

$x_{2}=\frac{-4-\sqrt{-24}}{2*1}=\frac{-4-2i\sqrt{6}}{2}=-\frac{4}{2}-\frac{2i\sqrt{6}}{2}=-2-i\sqrt{6};$

$x_{1}=-2+i\sqrt{6}, x_{2}=-2-i\sqrt{6};$

$i=\sqrt{-1}, i^{2}=-1;$

Проверим полученные корни. Для этого подставим их в квадратное уравнение:

$(-2+i\sqrt{6})^{2}+4*(-2+i\sqrt{6})+10=(-2)^{2}+2*(-2)*i\sqrt{6}+(i\sqrt{6})^{2}-8+$

$+4i\sqrt{6}+10=4-4i\sqrt{6}+i^{2}*(\sqrt{6})^{2}-8+4i\sqrt{6}+10=4-8+10-4i\sqrt{6}+4i\sqrt{6}+$

$+(-1)*6=-4+10-6=0;$

Первый корень обратил уравнение в верное равенство. Теперь проверим второй корень:

$(-2-i\sqrt{6})^{2}+4*(-2-i\sqrt{6})+10=(-2)^{2}-2*(-2)*i\sqrt{6}+(i\sqrt{6})^{2}-8-$

$-4i\sqrt{6}+10=4+4i\sqrt{6}+i^{2}*(\sqrt{6})^{2}-8-4i\sqrt{6}+10=4-8+10+4i\sqrt{6}-4i\sqrt{6}+$

$+(-1)*6=-4+10-6=0;$

Второй корень также обратил уравнение в верное равенство. Корни найдены верно.