Question

1. Знайдіть координати центра кола, заданого рівнянням:
(х-2)2 + (у+4)2 =4. Вкажіть радіус кола.
2. Знайдіть координати центра кола, його радіус і запишіть рівняння кола, якщо кінцями діаметра кола є точки А(-1; 3) і В(3; 3).
3. Знайдіть координати точок перетину прямої х+4у-12=0
А) з осями координат;
Б) з прямою у = х-2.
4. Знайдіть координати точок перетину кола (х-2)2 + (у-4)2 =2
з прямою у= -х+4.​

Answer 1

Ответ и Объяснение:

Перевод:

1. Найдите координаты центра окружности, заданного уравнением:

(x-2)² + (у + 4)² = 4. Укажите радиус окружности.

2. Найдите координаты центра окружности, ее радиус и запишите уравнение окружности, если концами диаметра круга есть точки А (-1; 3) и В (3; 3).

3. Найдите координаты точек пересечения прямой х + 4·y-12 = 0

А) с осями координат;

Б) с прямой у = х - 2.

4. Найдите координаты точек пересечения окружности (х-2)² + (у-4)² = 2

с прямой у = -х + 4.

Нужно знать:

а) Уравнение окружности с центром в точке А(x₀; y₀) и радиусом R имеет вид

(x – x₀)² + (y – y₀)² = R².

б) Расстояние между двумя точками А(x₁; y₁) и В(x₂; y₂) определяется по формуле

$\displaystyle \tt d(AB) =\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} .$

в) Координаты точки M(x₀; y₀) середины отрезка с концевыми точками А(x₁; y₁) и В(x₂; y₂) определяется по формуле

$\displaystyle \tt x_0 =\frac{x_1+x_2}{2}, \;\; y_0 =\frac{y_1+y_2}{2}.$

Решение.

1. Найдите координаты центра окружности, заданного уравнением:

(x-2)² + (у + 4)² = 4. Укажите радиус окружности.

Преобразуем уравнение окружности так, чтобы можно было сравнить с общим видом:

(x-2)² + (у -(-4))² = 2².

Тогда координаты центра окружности x₀ = 2 и y₀ = -4, а радиус окружности R = 2.

2. Найдите координаты центра окружности, ее радиус и запишите уравнение окружности, если концами диаметра круга есть точки А(-1; 3) и В(3; 3).

Так как центр окружности является серединой диаметра, то

$\displaystyle \tt x_0 =\frac{-1+3}{2}=1, \;\; y_0 =\frac{3+3}{2}=3.$

Определим длину диаметра

$\displaystyle \tt d(AB) =\sqrt{(-1-3)^2+(3-3)^2} =\sqrt{(-4)^2+0^2} =\sqrt{4^2} =4.$

Длина радиуса окружности равна половине диаметра и поэтому

R = d/2 = 4/2 = 2.

Тогда уравнение окружности имеет вид:

(x-1)² + (у -3)² = 2² или (x-1)² + (у -3)² = 4.

3. Найдите координаты точек пересечения прямой х + 4·y-12 = 0

А) с осями координат;

Б) с прямой у = х - 2.

А) Точка пересечения прямой х + 4·y-12 = 0 с осью Ох, то есть y = 0:

х + 4·0-12 = 0 ⇔ x = 12 ⇒ (12; 0).

Точка пересечения прямой х + 4·y-12 = 0 с осью Оy, то есть x = 0:

0 + 4·y-12 = 0 ⇔ y = 3 ⇒ (0; 3).

Б) Чтобы найти точку пересечения прямой х+4·y-12=0 с прямой у=х-2 решаем систему уравнений:

$\displaystyle \tt \left \{ {{x+4 \cdot y-12=0} \atop {y=x-2}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x+4 \cdot (x-2)-12=0} \atop {y=x-2}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{5 \cdot x-8-12=0} \atop {y=x-2}} \right. \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow \left \{ {{5 \cdot x=20} \atop {y=x-2}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{x=20:5=4} \atop {y=4-2=2}} \right. \Leftrightarrow (x; y) = (4; 2).$

4. Найдите координаты точек пересечения окружности

(х-2)²+(у-4)²=2

с прямой у = -х + 4.

Чтобы найти точку пересечения окружности (х-2)² + (у-4)² = 2 с прямой у = -х + 4 решаем систему уравнений:

$\displaystyle \tt \left \{ {{y=-x+4 } \atop {(x-2)^2+(y-4)^2=2}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{y=-x+4 } \atop {(x-2)^2+(-x+4-4)^2=2}} \right. \Leftrightarrow \\\\ \Leftrightarrow \left \{ {{y=-x+4 } \atop {x^2-4 \cdot x +4 +x^2-2=0}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{y=-x+4 } \atop {2 \cdot x^2-4 \cdot x +2=0}} \right. \Leftrightarrow$

$\displaystyle \tt \Leftrightarrow \left \{ {{y=-x+4 } \atop {x^2-2 \cdot x +1=0}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{y=-x+4 } \atop {(x-1)^2=0}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{y=-x+4 } \atop {x-1=0}} \right. \Leftrightarrow \\\\\Leftrightarrow \left \{ {{y=-1+4=3 } \atop {x=1}} \right. \Leftrightarrow (x; y)=(1;3).$