Question

Решить уравнение
$x^{log_3 x+1} =9x^2$

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle x_{1} =9 \\\\ x_{2} = \frac{1}{3}$

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle x^{\log_{3}{x}+1} =9x^{2}$

Уравнение имеет смысл при x > 0.

Разделим обе части уравнения на x², (x ≠ 0)

$\displaystyle x^{\log_{3}{x}+1} =9x^{2} \;\;\;|: x^{2} ; (x \neq 0);\\\\x^{\log_{3}{x}-1} =9$

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3.

$\displaystyle \log_{3}{( x^{\log_{3}{x}-1} )}=\log_{3}{9}\\\\(log_{3}{x}-1)(log_{3}{x}) = 2\\\\log^{2} _{3}{x}-log_{3}{x}-2=0$

Обозначим:  $\displaystyle log_{3}{x}=y$

Получим квадратное уравнение относительно переменной y.

$\displaystyle y^{2} -y-2=0$

По теореме Виета:

$\displaystyle y_{1}*y_{2} =-2\\\\ y_{1}+y_{2} =1\\\\ y_{1} = 2; \;\;\;\; y_{2} =-1$

Найдем корни уравнения

$\displaystyle log_{3}{x}=2; \;\;\; x_{1} = 3^{2}=9 \\\\log_{3}{x}=-1; \;\;\; x_{2} = 3^{-1}= \frac{1}{3}$