Question

Докажите,что (n+1)(n+2)...(2n-1)*2n/1*3*5*...*(2n-1)=2^n​

Answer 1

$\dfrac{(n+1)(n+2)...(2n-1)*2n}{1*3*5*...*(2n-1)}=\dfrac{1*2*...*n*(n+1)(n+2)...(2n-1)*2n}{1*2*...*n*1*3*5*...*(2n-1)}=\dfrac{(2n)!}{n!*(2n-1)!!}=\dfrac{(2n)!!*(2n-1)!!}{n!*(2n-1)!!}=\dfrac{(2n)!!}{n!}=\dfrac{2*4*...*2n}{n!}=\\ =\dfrac{(2*1)*(2*2)*...*(2*n)}{n!}=\dfrac{(2*1)*(2*2)*...*(2*n)}{n!}=\\ =\dfrac{2^{\frac{2n-2}{2}+1}*1*2*...*n}{n!}=\dfrac{2^{n}n!}{n!}=2^n$

Ч.т.д.

_________

$x!!$ - двойной факториал: произведение всех натуральных чисел отрезка [1;x] четности, совпадающей с четностью x.

Свойство $k!=k!!*(k-1)!!,k\in N\backslash \{1\}$ очевидно (k и k-1 - последовательные натуральные числа, а значит они имеют разную четность, а значит один из сомножителей содержит все четные числа, а 2ой - все нечетные из отрезка [1;k], т.е. их произведение содержит все натуральные числа отрезка [1;k] по одному разу. А это и есть $k!$)

Пояснение к преобразованию $(2n)!!$ : в этом выражении содержится произведение всех четных чисел отрезка [1;2n] , всего этих сомножителей $\dfrac{2n-2}{2}+1=n$ , причем k-ый из них представим в виде $2k=2*k$. А тогда, вынеся из каждого сомножителя 2, и получим представление $2^n n!$