Question

Дан прямоугольник ABCD, стороны которого равны 6 и 4. Найди косинус острого угла между диагоналями прямоугольника
1) 3/5
2) 8/17
3) 5/13
Правильный ответ: 3) 5/13

Answer 1

Ответ:

3) 5/13

Объяснение:

Т. к. ∆ABC - п/у => по т. Пиф:

AC² = AB²+BC

AC² = 4²+6²

AC² = 52 => AC = 2√13

По св-в прям. : АО=OD=BO (по св-ву прям. АС=BD и т. пересеч. делятся пополам) => АО=ВО = ½АС => АО=ВО = ½*2√13 => АО=ВО = √13

По теореме косинусов:

${ab}^{2} = {ao}^{2} + {ob}^{2} - 2 \times ao \times ob \times cos \: aob \\ 2 \times ao \times ob \times cos \: aob = {ao}^{2} + {ob}^{2} - {ab}^{2} \\ cos \: aob = \frac{ {ao}^{2} + {bo}^{2} - {ab}^{2} }{2 \times ao \times ob} \\ cos \: aob \: = \frac{ { \sqrt{13} }^{2} + { \sqrt{13} }^{2} - {4}^{2} }{2 \times \sqrt{13} \times \sqrt{13} } \\ cos \: aob = \frac{13 + 13 - 16 }{2 \times 13} \\ cos \: aob = \frac{10}{ 2 \times 13} \\ cos \: aob = \frac{5}{13}$