Question

Найдите область значений функции:
1) y=3+x^5/x
2) y=x+2/x^2
помогите пожалуйста

Answer 1

Ответ:

1) (3;∞);   2) (0;10]

Объяснение:

1)

$\lim_{x \to \infty} (3+\frac{x^5}{x})=\infty\\ \lim_{x \to -\infty} (3+\frac{x^5}{x})=\infty$

Свое экстремальное значение функция примет в точках, где производная равна 0.

$y'=(3+\frac{x^5}{x})'= (3+x^4)'=4x^3\\4x^3=0\\x=0$

Найденная точка является точкой разрыва. Найдем пределы справа и слева:

$\lim_{x \to +0} (3+\frac{x^5}{x})= \lim_{x \to +0} (3+x^4)= 3\\ \lim_{x \to -0} (3+\frac{x^5}{x})= \lim_{x \to +0} (3+x^4)= 3$

Таким образом значения функции меняются от 3 до бесконечности

(3;∞)

2) Находим пределы, используя правило Лопиталя:

$\lim_{x \to \infty} (\frac{x+2}{x^2})=\lim_{x \to \infty} (\frac{1}{2x})=0\\ \lim_{x \to -\infty}(\frac{x+2}{x^2})=\lim_{x \to -\infty} (\frac{1}{2x})=0$

Свое экстремальное значение функция примет в точках, где производная равна 0.

$y'=(\frac{x+2}{x^2})'=\frac{(x+2)'-(x^2)'}{(x^2)^2}= \frac{1-2x}{x^4} \\\frac{1-2x}{x^4}=0\\1-2x=0\\x=0.5$

$F(0.5)=\frac{0.5+2}{0.5^2}=10$

Таким образом значения функции меняются от 0 (не входит) до 10 (входит):

(0;10]