Question

Решить систему
$\left \{ {{x+yz=2} \atop {y+zx=2}}\atop {z+xy=2}} \right.$

Answer 1

Ответ:

$(1;1;1),\;(-2;-2;-2)$

Пошаговое объяснение:

$\left\{\begin{array}{c}x+yz=2\\y+xz=2\\z+xy=2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}x+yz=y+xz\;\;\;(1)\\y+xz=2\\z+xy=2\end{array}\right.\\ (1)\;\;\;y(z-1)=x(z-1)\Rightarrow (y-x)(z-1)=0=>\left[\begin{array}{c}y=x\\z=1\end{array}\right.$  

- - - - -

$y=x\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}x(z+1)=2\\z+x^2=2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}z=\dfrac{2}{x}-1\\\dfrac{2}{x}-1+x^2=2\;\;(2)\end{array}\right.\\ (2)\;\;2-3x+x^3=0$

Сумма коэффициентов при степенях переменной равна 0, а значит 1 - один из корней уравнения (2).

$x^2(x-1)+x(x-1)-2(x-1)=0\Rightarrow(x-1)(x^2+x-2)=0\Rightarrow(x-1)((x-1)(x+2))=0$

$x=1\Rightarrow y=1\Rightarrow z=\dfrac{2}{1}-1=1$

$x=-2\Rightarrow y=-2\Rightarrow z=\dfrac{2}{-2}-1=-2$

- - - - -

$z=1\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}y+x=2\\1+xy=2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}y+x=2\\xy=1\end{array}\right.$

Т.е. x и y - корни квадратного уравнения $m^2-2m+1=0\Rightarrow (m-1)^2=0$

А значит $x=y=1$ - этот случай уже был получен ранее