Question

Пожалуйста решите с объяснением. Значение арифметического выражения: 25^94 + 5^216 – 125 записали в системе счисления с основанием 5. Сколько цифр «4» в этой записи?

Answer 1

Попробую объяснить.

Сначала приведу примеры степеней в нашей, десятичной системе:

$10^{\hspace{0.3mm}0}=1$

$10^{\hspace{0.3mm}1}=10$

$10^{\hspace{0.3mm}2}=100$

$10^{\hspace{0.3mm}3}=1000$

То есть, если возводить основание системы в какую то целую степень, то число нулей равно показателю этой степени.

Так вот, в других системах так же. Например, если возводить 5 в какую то степень, то в пятеричной системе это число будет выглядеть как единица с числом нулей, равным показателю степени:

$5^{\hspace{0.3mm}0}=1_5$

$5^{\hspace{0.3mm}1}=10_{\hspace{0.4mm}5}$

$5^{\hspace{0.3mm}2}=100_{\hspace{0.3mm}5}$

$5^{\hspace{0.3mm}3}=1000_{\hspace{0.3mm}5}$

Приведём все слагаемые в этом выражении к виду степени с основанием 5:

$25^{94}=(5^2)^{94}=5^{2\hspace{0.3mm}*\hspace{0.3mm}94}=5^{188}$

$125=5^3$

Далее, представим как они выглядят в пятеричном виде (начнём с самого большого слагаемого):

$5^{\hspace{0.3mm}216}=10000...0000_\hspace{0.3mm}5$  (всего 216 нулей)

$5^{\hspace{0.2mm}188}=\ \ \ \,1000...000_\hspace{0.3mm}5$  (всего 188 нулей)

$5^{\hspace{0.3mm}3}=\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1000_\hspace{0.3mm}5$  (всего 3 нуля)

Если сложить в пятеричном виде первые два числа, то мы получим число, которое выглядит так:

100....00100000...00000  (пятеричное)

(сначала идёт единица, затем 216-188-1=27 нулей, далее единица, далее 188 нулей)

Если теперь из этого вычесть $1000_5$  то получим вот что:

100....00044444...44000  (пятеричное)

(сначала идёт единица, затем 27+1=28 нулей, далее 188-3=185 четвёрок, далее 3 нуля)

Вот мы и получили ответ на вопрос в этой задаче- четвёрок тут ровно 185 штук.

Почему там появились четвёрки? Опять приведу примеры из десятичной системы:

$10 - 1 = 9$

$100 - 1 = 99$

А в пятеричной- то же самое, но будут четвёрки:

$10_5\ -\ 1_5=4_5$

$100_5\ -\ 1_5=44_5$

(ведь тут пять цифр- от 0 до 4, а после 4 идёт уже 10)

Теперь, пример посложнее в десятичной системе:

$1001000 - 10 = 1000990$

(то есть, произошло последовательное заимствование единицы из следующих разрядов, пока не дошло до разряда, в котором не было нуля)

А вот, то же самое, но в пятеричной системе:

$1001000_5 - 10_5 = 1000440_5$

Как видите, похоже на наш пример, только цифр поменьше.

В общем то, я дополнительно проверил свой ответ с помощью расчёта в программе. Такие задания встречаются постоянно, и я давно составил программу на Паскале, по которой подсчитал число четвёрок тут (чтобы убедиться, что не было ошибки в рассуждениях). Скрин окна вывода этой программы смотри внизу.