Question

СРОЧНО!
Дан четырехугольник с вершинами А (-2;-2), В (-3;1), С ( 7;7) и Д (3;-1). Найдите с угла между его диагоналями.
С чертежом пожалуйста!

Answer 1

Найдём косинус угла между диагоналями через скалярное произведение векторов диагоналей AC и BD.

$AC_x=X_C-X_A=7-(-2)=9\\\\AC_y=Y_C-Y_A=7-(-2)=9\\\\\overrightarrow {AC}\Big(9;9\Big);\ \ \ \ \Big|\overrightarrow {AC}\Big|=\sqrt{\big9^2+\big9^2}=\sqrt{2\cdot \big9^2}=9\sqrt{\big2}\\\\BD_x=X_D-X_B=3-(-3)=6\\\\BD_y=Y_D-Y_B=-1-1=-2\\\\\overrightarrow {BD}\Big(6;-2\Big);\ \ \ \ \Big|\overrightarrow {BD}\Big|=\sqrt{\big6^2+\big(-2\big)^2}=\sqrt{\big40}=2\sqrt{\big10}$

$\cos \phi=\cos\widehat{\Big(\overrightarrow{AC};\overrightarrow{BD}\Big)}=\\\\=\dfrac{AC_x\cdot BD_x+AC_y\cdot BD_y}{\Big|\overrightarrow{AC}\Big|\cdot\Big|\overrightarrow{BD}\Big|}=\dfrac{9\cdot 6+9\cdot (-2)}{9\sqrt{\big2}\cdot 2\sqrt{\big10}}=\\\\=\dfrac{9\cdot 4}{18\cdot \sqrt{20}}=\dfrac{36}{36\sqrt5}=\dfrac1{\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}5$

$\phi=arccos \dfrac{\sqrt5}5\approx63^\circ$

Ответ: √5/5.