В треугольнике ABC провели высоту BH и биссектрису BL. Оказалось что треугольник ABL и LBC равнобедренные, а BH высота равнобедренного треугольника ABL, проведённая к основанию AL. Докажите что треугольник ABC равнобедренный
Ответы
Ответ:
Смотрите доказательство!
Объяснение:
Дано: BH ⊥ AC, ∠ABL = ∠CBL, AB = BL, BL = LC
Доказать: ΔABC - равнобедренный
Доказательство: Пусть угол ∠ABL = α, тогда угол ∠CBL = α, так как по условию ∠ABL = ∠CBL. Так как по условию треугольник ΔLBC - равнобедренный, то по свойствам равнобедренного треугольника углы при основании равны, тогда ∠CBL = ∠LCB, так как угол ∠CBL = α, то и угол ∠LCB = α.
Рассмотрим равнобедренный треугольник ΔABL с основанием AL по условию. По свойствам равнобедренного треугольника углы при основании равны, тогда ∠BAL = ∠ALB. По теореме про сумму углов треугольника ∠BAL + ∠ALB + ∠ABL = 180° и так как ∠BAL = ∠ALB, тогда: 2∠BAL + ∠ABL = 2∠ALB + ∠ABL = 180°
2∠BAL + ∠ABL = 180°|:2
∠BAL + 0,5∠ABL = 90° ⇒ ∠BAL = 90° - 0,5∠ABL = 90° - 0,5α.
По теореме про сумму углов треугольника для треугольника ΔABC:
∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 180°
∠ABL + ∠CBL + ∠LCB + ∠BAL = 180°
α + α + α + 90° - 0,5α = 180°
2,5α = 90°|:2,5
α = 36°
∠ABC = ∠ABL + ∠CBL = α + α = 36° + 36° = 72°
∠BCA = α = 36°
∠BAC = 90° - 0,5α = 90° - 0,5 * 36° = 90° - 18° = 72°
По теореме так как ∠ABC = ∠BAC = 72°, то треугольник ΔABC - равнобедренный.
Объяснение:
Дано: ΔАВС;
ВН - высота; BL - биссектриса.
ΔABL - равнобедренный; ΔLBC - равнобедренный.
Доказать: ΔАВС - равнобедренный.
Доказательство:
1) Пусть ∠1=∠2=α (BL - биссектриса) ⇒∠В=2α
2) Рассмотрим ΔLBC - равнобедренный;
∠2=∠3=α (при основании равнобедренного треугольника)
3) ∠5=∠2+∠3=2α (внешний)
4) Рассмотрим ΔABL - равнобедренный.
∠4=∠5=2α (при основании равнобедренного треугольника)
5) Рассмотрим ΔАВС.
∠А=∠В=2α ⇒ΔАВС - равнобедренный. (углы при основании равны)
