Question

Докажите методом математической индукции:
1 + 2 + 3 + ⋯ +n= $\frac{n(n+1)}{2}$

Answer 1

1) При $n = 1$ равенство примет вид $1=1$, следовательно, при $n = 1$ имеем верное равенство.

2) Предположим справедливость этого утверждения для $n = k$, где $k$ — произвольное натуральное число, и с учетом этого предположения установим справедливость для $n = k + 1 \colon$

$1 + 2 + 3 + ... + (k + 1)= \dfrac{k(k+1)}{2} + (k + 1) = (k+1)\left(\dfrac{k}{2} + 1 \right)=\\= \dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$

Следовательно, при $n = k + 1$ имеем истинное утверждение.

3) Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального $n$.