Question

Помогите пожалуйста решить
$\sqrt{2x+3} +\sqrt{3x+2} -\sqrt{2x+5}=\sqrt{3x}$

Answer 1

$\sqrt{2x+3} +\sqrt{3x+2} -\sqrt{2x+5}=\sqrt{3x}$

Перепишем уравнение в виде:

$\sqrt{2x+3} +\sqrt{3x+2} =\sqrt{2x+5}+\sqrt{3x}$

Запишем ОДЗ:

$\begin{cases} 2x+3\geq0 \\ 3x+2\geq 0\\ 2x+5\geq 0\\3x\geq0 \end{cases}\Rightarrow x\geq 0$

Левая и правая части уравнения неотрицательны. Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{2x+3} +\sqrt{3x+2} )^2=(\sqrt{2x+5}+\sqrt{3x})^2$

$(\sqrt{2x+3} )^2+(\sqrt{3x+2} )^2+2\cdot\sqrt{2x+3}\cdot\sqrt{3x+2} =\\=(\sqrt{2x+5})^2+(\sqrt{3x})^2+2\cdot\sqrt{2x+5}\cdot\sqrt{3x}$

$2x+3+3x+2+2\sqrt{(2x+3)(3x+2)} =2x+5+3x+2\sqrt{(2x+5)\cdot3x}$

$5x+5+2\sqrt{(2x+3)(3x+2)} =5x+5+2\sqrt{(2x+5)\cdot3x}$

$2\sqrt{(2x+3)(3x+2)} =2\sqrt{(2x+5)\cdot3x}$

$\sqrt{(2x+3)(3x+2)} =\sqrt{(2x+5)\cdot3x}$

Все числа, соответствующие найденной ОДЗ, соответствуют и ОДЗ полученного уравнения.

Аналогично, возведем в квадрат обе части:

$(\sqrt{(2x+3)(3x+2)})^2 =(\sqrt{(2x+5)\cdot3x})^2$

$(2x+3)(3x+2) =(2x+5)\cdot3x$

$6x^2+4x+9x+6=6x^2+15x$

$6x^2+4x+9x-6x^2-15x=-6$

$-2x=-6$

$x=3$

Полученный корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 3