Question

Решите систему, используя метод сложения уравнений:
а) {x² + y² = 17,
x²-y² = -15;
б) 5x²-y² + 6x = 11,
x² + y² = 25

Answer 1

а)    $\left \{ {{x^2+y^2=17} \atop {x^2-y^2=-15}} \right.$

Сложим:

     $x^2+y^2+x^2-y^2=17-15$

                           $2x^2=2$

                          $x^2=2:2$

                          $x^{2} =1$

                      $x_1=-\sqrt{1}=-1$

                      $x_2=\sqrt{1}=1$

Подставим  $x^{2} =1$ в первое уравнение:

     $1+y^{2} =17$

     $y^2=17-1$

     $y_1=-\sqrt{16} =-4$

     $y_2=\sqrt{16} =4$

Ответы:     $(-1;-4);$    $(-1;4);$  $(1;-4);$  $(1;4).$

б)  $\left \{ {{5x^{2}- y^2+6x=11} \atop {x^2+y^2=25}} \right.$

Сложим:

$5x^{2}- y^2+6x+x^2+y^2=11+25$

  $6x^{2}+6x=36$

  $6x^{2}+6x-36=0$

  $6*(x^{2}+x-6)=0$

$x^{2}+x-6=0:6$

            $x^{2}+x-6=0$

           $D=1-4*1*(-6)=1+24=25=5^2$

            $x_1=\frac{-1-5}{2}=-3$

            $x_2=\frac{-1+5}{2}=2$

1)  $x^{2} +y^2=25$   при  $x_1=-3$

     $(-3)^2+y^2=25$

      $y^2=25-9$

      $y_1=-\sqrt{16}=-4$

      $y_2=\sqrt{16}=4$

2)  $x^{2} +y^2=25$   =>  $x$₂ = 2

     2² + y² = 25

    y² = 25 - 4

    y² = 21

    y₁ = - √21

    y₂ = √21

Ответы:  $(-3;-4);$   $(-3;4);$  $(2;-\sqrt{21} );$  $(2;\sqrt{21} ).$