Question

даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: 1) угол между ребрами AB и AD; 2) уравнение плоскости ABC; 3) угол между ребром AD и гранью ABC; 4) площадь грани ABC; 5) объем пирамиды; 6) уравнение высоты опущенной из вершины D на грань ABC.
А (1,-4,0), В (5,0,-2), С (3,7,-10), D (1,-2,1).

Answer 1

Даны координаты вершин пирамиды ABCD:

А (1,-4,0), В (5,0,-2), С (3,7,-10), D (1,-2,1).

Найти: 1) угол между ребрами AB и AD;

                                   x    y     z    СумКвад. Длина ребра  

Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA} 4    4    -2              36        6

Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA} 0     2       1               5     2,23607.

cos(AB_AD) = (4*0 + 4*2 + (-*2)*1) / (6*√5) = 6/(6*√5) = √5/5.

Угол равен arc cos(√5/5) = 1,10715 радиан или 63,4349 градуса.

2) уравнение плоскости ABC;

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA y - yA z - zA

xB - xA yB - yA zB - zA

xC - xA yC - yA zC - zA

 = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - 1      y - (-4)             z - 0

5 - 1       0 - (-4)     (-2) - 0

3 - 1       7 - (-4)     (-10) - 0

 = 0

x - 1       y - (-4)    z - 0

4        4              -2

2        11      -10

 = 0

( x - 1)  4·(-10)-(-2)·11  -  (y - (-4))  4·(-10)-(-2)·2  +  (z - 0)  4·11-4·2  = 0

(-18) x - 1  + 36 y - (-4)  + 36 z - 0  = 0

- 18x + 36y + 36z + 162 = 0

x - 2y - 2z - 9 = 0

3) угол между ребром AD и гранью ABC;

Уравнение AD: (x - 1)/0 = (y + 4)/2 = z/1.

Найдем угол между прямой  (x - 1)/ 0  =   (y + 4)/ 2  =   z/ 1  и плоскостью

x - 2y - 2z - 9 = 0 .

Направляющий вектор прямой имеет вид: s =  0; 2; 1  

Вектор нормали плоскости имеет вид: q =  1; -2  

Вычислив угол между векторами, найдем угол между прямой и плоскостью:

sin φ = |cos ψ| =   | s · q | | s |·| q |  =

=   | sx · qx + sy · qy + sz · qz | /√(sx² + sy² + sz²) · √(qx² + qy² + qz²)  =

=   | 1 · 0 + (-2) · 2 + (-2) · 1 | /√(1² + (-2)² + (-2)²) · √(0² + 2² + 1²)  =

=   | 0 - 4 - 2 | /(√(1 + 4 + 4) · √(0 + 4 + 1)) =

=   6 /(√9 · √5)  =

=   6 /√45  =   2√5/ 5  ≈ 0.89443.

φ = 63.43495°.

4) площадь грани ABC;

Площадь грани ABC равна половине модуля векторного произведения: S = (1/2)|AB*AC|.

 i        j     k|       i        j

4     4     -2|      4       4

2     11     -10|    2      11   =   -40i - 4j + 44k + 40j + 22i - 8k =

                                        =   -18i + 36j + 36k.

Модуль равен √((-1/)² + 36² +36²) = √2916 = 54.

Площадь S = (1/2)*54 = 27.

5) объем пирамиды;

Объём пирамиды V = (1/6)*|(ABxAC)*AD|.

ABxAC    =    -18      36       36

      АD    =     0         2          1

(1/6)*|(ABxAC)*AD| = (1/6)*|(0 + 72 + 36)| = 108/6 = 18.

6) уравнение высоты опущенной из вершины D на грань ABC.

Нормальный вектор плоскости АВС является направляющим вектором высоты из вершины D на грань ABC.

Точка D (1,-2,1). Вектор (1; - 2; - 2).

Уравнение высоты: (x - 1)/1 = (y + 2)/(-2) = (z - 1)/(-2).