даны координаты вершин треугольника ABC. Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнение стороны АВ; 3) уравнение высоты СН; 4) уравнение медианы АМ; 5) точку N пересечения медианы АМ и высоты СН; 6) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ. А(-2;3) В(0;7)С(8;3)
Ответы
Даны вершины треугольника А(-2;3), В(0;7), С(8;3).
1) AB = {xb - xa; yb - ya} = {0 - (-2); 7 - 3} = {2; 4} .
Длина АВ = √(2² + 4²) =√(4 + 16) = √20 = 2√5.
2)Составим каноническое уравнение прямой АВ.
Воспользуемся формулой канонического уравнения прямой:
( x - xa) / (xb - xa) = (y - ya) / (yb - ya).
Подставим в формулу координаты точек А и В:
( x - (-2)) / (0 - (-2)) = (y - 3) / (7 - 3).
В итоге получено каноническое уравнение прямой:
(x + 2) / 2 = (y - 3) /4.
Из уравнения прямой в каноническом виде получим уравнение прямой с угловым коэффициентом:
y = 2x + 7 .
Составим параметрическое уравнение прямой
Воспользуемся формулой параметрического уравнения прямой:
x = l t + x1
y = m t + y1
где:
{l; m} - направляющий вектор прямой, в качестве которого можно взять вектор AB;
(x1, y1) - координаты точки лежащей на прямой, в качестве которых можно взять координаты точки A.
AB = {xb - xa; yb - ya} = {0 - (-2); 7 - 3} = {2; 4}
В итоге получено параметрическое уравнение прямой:
x = t - 2 .
y = 2t + 3.
3) Угловой коэффициент перпендикуляра СН равен -1/к(АВ) = -1/2.
Уравнение СН: у = (-1/2)х + в. Подставим координаты точки С.
3 = (-1/2)*8 + в, отсюда в = 3 + 4 = 7.
Получаем СН: у = (-1/2)х + 7 или в общем виде х + 2у - 14 = 0.
4) Находим координаты точки М как середины стороны ВС.
М(((0+8)/2); ((7+3)/2)) = (4; 5).
Воспользуемся формулой канонического уравнения прямой:
( x - xa) / (xm - xa) = (y - ya) / (ym - ya).
Подставим в формулу координаты точек А и М:
( x - (-2)) / (4 - (-2)) = (y - 3) / (5 - 3).
В итоге получено каноническое уравнение прямой:
(x + 2) / 6 = (y - 3) /2 или (x + 2) / 3 = (y - 3) /1.
Из уравнения прямой в каноническом виде получим уравнение прямой с угловым коэффициентом:
y = (1/3)x + (11/3) .
В общем виде: х - 3у + 11 = 0.
Составим параметрическое уравнение прямой
Воспользуемся формулой параметрического уравнения прямой:
x = l t + x1
y = m t + y1
где:
{l; m} - направляющий вектор прямой, в качестве которого можно взять вектор AМ;
(x1, y1) - координаты точки лежащей на прямой, в качестве которых можно взять координаты точки A.
AМ = {xм - xa; yм - ya} = {4 - (-2); 5 - 3} = {6; 2}
В итоге получено параметрическое уравнение прямой:
x =3 t - 2 .
y = t + 3.
5) Находим точку N пересечения медианы АМ и высоты СН.
АМ: х - 3у + 11 = 0,
СН: х + 2у - 14 = 0. Вычтем из второго уравнения первое:
5у - 25 = 0, отсюда у = 25/5 = 5, х = 3у - 11 = 3*5 - 11 = 4.
Точка N(4; 5).
6) С || АВ: 2 Х - У - 13 = 0
