Question

Помогите, люди добрые.

известно, что $\lim_{n \to \infty} x_n = a$. доказать, что $\lim_{n \to \infty} (x_{n+1} - x_{n}) = 0$

Answer 1

$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$ значит, что последовательность $\{x_n\}$ сходится к своему пределу $a$. По определению это означает, что ${\displaystyle \forall {\text{ }}\varepsilon_1 >0{\text{ }}\exists N_1:{\text{ }}\forall {\text{ }}n,n>N_1{\text{ }}\Rightarrow |x_n-a|<\varepsilon_1 }$

$\{x_{n+1}\}$ - подпоследовательность последовательности $\{x_n\}$ , полученная удалением первого члена. А значит ее предел совпадает с пределом последовательности $\{x_n\}$. По определению это означает, что ${\displaystyle \forall {\text{ }}\varepsilon_2 >0{\text{ }}\exists N_2:{\text{ }}\forall {\text{ }}n,n>N_2{\text{ }}\Rightarrow |x_{n+1}-a|<\varepsilon_2 }$

Очевидно, выражение $\varepsilon_1+\varepsilon_2$ принимает каждое из значений интервала $(0;+\infty)$, а тогда, выбирая такие $\varepsilon_1,\varepsilon_2$, что $\varepsilon=\varepsilon_1+\varepsilon_2$, получаем, что $\forall {\text{ }}\varepsilon >0{\text{ }}\exists N=\max (N_1,N_2):{\text{ }}\forall {\text{ }}n,n>N{\text{ }}\Rightarrow |x_{n+1}-x_n-0|=|x_{n+1}-a-x_n+a|=|(x_{n+1}-a)-(x_n-a)|\leq |x_{n+1}-a|+|x_n-a|<\varepsilon_2+\varepsilon_1=\varepsilon$ - а это и есть определение того, что предел последовательности $\{x_{n+1}-x_n\}$ равен 0.

Ч.т.д.