Question

сделайте 4 задание пожалуйста,или что-то еще​

Answer 1

1)

$I = \int( \sin(2x) - \frac{1}{ \sqrt{2x} } + 2)dx = \int \sin(2x) dx - \int (2x) {}^{ - \frac{1}{2} } dx + \int2dx$

Вычислим каждый интеграл:

$\int \sin(2x) dx = \int \sin(2x) \times \frac{1}{(2x)'} dt = \int \frac{ \sin(t) }{2} dt = \frac{1}{2} ( - \cos(t) ) = - \frac{ \cos(2x) }{2}$

$\int(2x) {}^{ - \frac{1}{2} } dx = {2}^{ - \frac{1}{2} } \int {x}^{ - \frac{1}{2} } dx = \frac{1}{ \sqrt{2} } \frac{{x}^{ \frac{1}{2} } }{ \frac{1}{2} } = \frac{2}{ \sqrt{2} } \sqrt{x} = \frac{2 \sqrt{2} }{2} \sqrt{x} = \sqrt{2x}$

$\int2dx = 2 \int dx = 2x$

Получаем:

$I = - \frac{ \cos(2x) }{2} - \sqrt{2x} + 2x + C$

2)

$\int3x \sin(x) dx = 3\int x\sin(x)dx=\frac{I}{3}$

Проводим замену:

$x = u, \: dx = du \\ \sin(x)dx = dv, \: v = \int \sin(x) dx = - \cos(x)$

Теперь воспользуемся формулой:

$\int udv = uv - \int vdu$

$\frac{I}{3} = - x \cos(x) - \int( - \cos(x))dx = - x \cos(x) + \int \cos(x) dx = \sin(x) - x \cos(x)$

$I = 3 \sin(x) - 3x \cos(x) + C$

3)

$\int_{1}^{2} (9 {x}^{8} - 7 {x}^{6} )dx = \int_{1}^{2}9 {x}^{8} dx - \int_{1}^{2}7 {x}^{6} dx = I$

Вычисляем по отдельности каждый интеграл:

$\int_{1}^{2}9 {x}^{8} dx = 9\int_{1}^{2} {x}^{8} dx = 9 \frac{ {x}^{9} }{9} |_{1}^{2} = 9( \frac{ {2}^{9} }{9} - \frac{1}{9} ) = {2}^{9} - 1 = 511$

$\int_{1}^{2}7{x}^{6} dx = 7\int_{1}^{2} {x}^{6} dx = 7 \frac{ {x}^{7} }{7} |_{1}^{2} = 7( \frac{ {2}^{7} }{7} - \frac{1}{7} ) = {2}^{7} - 1 = 127$

Собираем ответ:

$I = 511 - 127 = 384$

Ответ: 384 кв. ед.

4)

$y = 6 - {x}^{2} , \: y = 0, \: x = - 3, \: x = - 1$

Хорошим тоном будет нарисовать график данной функции показав на нём все ограничения, но я сразу запишу формулу площади:

$\int_{ - 3}^{ - 1} (6 - {x}^{2} )dx = \int_{ - 3}^{ - 1}6dx - \int_{ - 3}^{ - 1} {x}^{2} dx = 6x|_{ - 3}^{ - 1} - \frac{ {x}^{3} }{3}| _{ - 3}^{ - 1} = ( - 6 + 18) - ( - \frac{1}{3} + \frac{27}{3} ) = 12 - \frac{26}{3} = \frac{10}{3}$

Ответ: 10/3 кв. ед.