Знайти методами векторної алгебри
Ответы
Для удобства записи примем координаты вершин:
A1 = A(-7; 7; -3), A2 = B(6; -5; 8), A3 = C(-3; -5; 8), A4 = D(8; 4; 1).
1) x y z Квадрат Длина ребра
Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA} = 13 -12 11 = √434 = 20,83267.
2) Находим вектор AD.
Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA} = 15 -3 4 √250 = 15,81139.
cos(AD_AD) = (13*15 + (-12)*(-3) + 11*4) / (√434*√250) = 275 / √108500 =
= 275 / 329,3933818 = 0,83487.
3) 2AB = 2*(13 -12 11) = (26; -24; 22).
Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA} = 4 -12 11 √281 = 16,76305.
3AC = 3*(4 -12 11) = (12; -36; 33).
2AB*3AC = (26; -24; 22)*(12; -36; 33) = 312 + 864 + 726 = 1902.
4) Площадь грани ABC равна половине модуля векторного произведения: S = (1/2)|AB*AC|.
i j k| i j
13 -12 11| 13 -12
4 -12 11| 4 -12 = -132i + 44j - 156k - 143j + 132i + 48k =
= 0i - 99j - 108k.
Модуль равен √(0² + (-99)² + (-108)²) = √21465 = 146,50939.
Площадь S = (1/2)*146,50939 = 73,25469.
5) Объём пирамиды V = (1/6)*|(ABxAC)*AD|.
ABxAC = 0 -99 -108
АD = 15 -3 4
(1/6)*|(ABxAC)*AD| = (1/6)*|(0 + 297 - 432)| = 135/6 = 22,5.