Question

Докажите, что значение выражения

 

2/3√5 +1 - 2/3√5 - 1

 

является рациональным числом.

 

Нужны решение, объяснение и ответ.

Буду крайне благодарен.

Answer 1

Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное

$displaystyle ...= frac{2(3 sqrt{5}-1 )}{(3 sqrt{5}+1)(3 sqrt{5}-1)} - frac{2(3 sqrt{5}+1)}{(3 sqrt{5}-1)(3 sqrt{5}+1)}=\ \ \ = frac{2(3 sqrt{5}-1)}{(3 sqrt{5})^2-1^2} - frac{2(3 sqrt{5}+1)}{(3 sqrt{5})^2-1^2} = frac{2(3 sqrt{5}-1)-2(3 sqrt{5}+1)}{9cdot5-1} =\ \ \ = frac{6 sqrt{5}-2-6 sqrt{5}-2}{44} =- frac{4}{44}=- frac{1}{11}$

Что и требовалось доказать