Question

4.49^х - 3.14^х - 4^х = 0​

Answer 1

Ответ:

$x_1 = log_{ \frac{7}{2} }(4) \\ x_2 = 0 \: \: \:$

Пошаговое объяснение:

$4 \cdot 49^x - 3\cdot 14^x - 4^x = 0 \\ 4 \ (7\cdot 7)^x - 3\cdot (2\cdot 7)^x - (2 \cdot 2)^x = 0 \\ 4 \cdot 7^{2x} - 3\cdot 2^x\cdot 7^x - 2^{2x} = 0$

Замена:

$7^x = a \\ 2 {}^{x} = b$

$\\ 4 a^2- 3 ab- b^2 = 0 \\ 4 a^2- 4 ab + ab- b^2 = 0 \\ 4a(a - b) + b(b - a) = 0 \\ 4a(a - b) - b(a - b) = 0 \\ (4a - b)(a - b) = 0$

Отсюда получаем:

$4a - b= 0 <=> 4a = b \: \: (1)\\ a-b=0 \: \: <=> a = b \: \: \: (2)$

Обратная замена. Решаем (1)

$4a = b < = > \frac{a}{b} = 4 \\ \frac{7^x }{2^x} = 4 = > (\frac{7}{2} ) {}^{x} = 3.5 {}^{x} = 4 \\ x = log_{3.5}(4) \: \: _{или} \: \: x = log_{ \frac{7}{2} }(4)$

Решаем (2)

$a = b < = > \frac{a}{b} = 1 \\ \frac{7^x }{2^x} = 1 \: \: = > \: (\frac{7}{2} ) {}^{x} = 1 \\ (\frac{7}{2} ) {}^{x} = (\frac{7}{2})^{0} = > x = 0$

Получаем 2 ответа:

$x_1 = log_{ \frac{7}{2} }(4) \\ x_2 = 0 \: \: \:$