Question

Исследовать на равномерную сходимость, как делать, приблизительно?

Answer 1

2747)

$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x)=\lim\limits_{n\to\infty}x^n(1-x)=\\ =\left\{\begin{array}{ccc}1*(1-1)=0,x=1\\0*(1-0)=0, x=0\\(1-x)\lim\limits_{n\to\infty}x^n=(1-x)*0=0,0<x<1\end{array}\right.=0$

Рассмотрим $r_n(x)=f_n(x)-f(x)=x^n(1-x)-0=x^n(1-x)$

Зафиксировав n, найдем стационарные точки на исследуемом отрезке:

$r_n(x)'=nx^{n-1}(1-x)+x^n(-1)=x^{n-1}(n-x(n+1))\\ x^{n-1}(n-x(n+1))=0=>x_1=0,x_2=\dfrac{n}{n+1}$

$r_n(x_1)=0-0=0\\ r_n(x_2)=(\dfrac{n}{n+1})^n(1-\dfrac{n}{n+1})=(1-\dfrac{1}{n+1})^n\dfrac{1}{n+1}=((1-\dfrac{1}{n+1})^{-(n+1)})^\dfrac{-n}{n+1}}*\dfrac{1}{n+1}$

Добавим неисследованную границу отрезка $x_3=1=>r_n(x_3)=1(1-1)=0$

Тогда

$\lim\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{x\in[0;1]}|r_n(x)|=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)^{-(n+1)}\right)^\dfrac{-n}{n+1}}*\dfrac{1}{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}e^{\dfrac{1}{n+1}-\big 1}*\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{1}{e}\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n+1}=0$

А значит, по супремальному критерию, $f_n(x)\underset{x\in[0;1]}{\rightrightarrows} f(x)=0$

2748)

$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}x^n(1-x^n)=\left\{\begin{array}{ccc}1*(1-1)=0,x=1\\0*(1-0)=0, x=0\\\lim\limits_{n\to\infty}x^n=0,0<x<1\end{array}\right.=0$

$r_n(x)=x^n-x^{2n}$

$r_n(x)'=nx^{n-1}-2nx^{2n-1}=nx^{n-1}(1-2x^n)\\ x_1=0,x_2=\dfrac{1}{2^\frac{1}{n}};$

$r_n(x_2)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{4}$

А тогда $\lim\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{x\in[0;1]}|r_n(x)|\geq \dfrac{1}{4}>0$ , и, по супремальному критерию, $f_n(x)$ на указанном отрезке сходится неравномерно

2749)

$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{x+n}=0$

$r_n(x)=\dfrac{1}{x+n}$

$r_n(x)'=-\dfrac{1}{(x+n)^2}<0$

Остается проверить границы интервала (супремум не обязательно принадлежит исследуемому множеству (!)):

$r_n(0)=\dfrac{1}{n}\\ r_n(+\infty)=0$

$\lim\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{0<x<+\infty}|r_n(x)|=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0$

А значит, по супремальному критерию, $f_n(x)\underset{0<x<+\infty}{\rightrightarrows} f(x)=0$