Question

Почему 0 в степени 0 всё равно 1?

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Ну всё зависит от уровня ваших знаний.

Допустим, что мы ещё не доросли до математического анализа, тогда:

Вспомним школьную формулу :

$\displaystyle \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$

А если n = m? тогда

 $\displaystyle \frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0=1$

То есть любое число а в степени 0 - единица. Тогда почему бы нам не взять а равное 0? Тогда получим, что 0⁰=1

Нет, это не совсем так, мы ведь будем делить на а, то есть на 0. А поскольку этого делать нельзя, то и результат получится неопределённым.

Как же тогда быть?

Обратимся сначала к множествам. Пусть у нас есть а яблок разного цвета. Сколько есть вариантов выбрать 0 яблок? Ну конечно же 1 вариант - просто ничего не выбрать. Если мы будем выбирать с яблок из а разными способами, то нам понадобится сделать $a^c$ различных вариантов. Пусть а = 0 и с = 0. Тогда получим, что $0^0=1$.

Если вам этого не достаточно, то

Посмотрим на числа х максимально близкие к 0 и будем искать значение выражения $x^x$.

Я конечно же округлил значения! (мне вам Ламберта писать? если хотите, напишу)

$1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|1\\0.9\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|0.909\\0.8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|0.837\\0.5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|0.707\\0.2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|0.724$

$0.1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|0.794\\0.01\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|0.954\\0.001\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|0.9931\\0.0001\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|0.9992$

$0.001\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|0.9931\\0.0001\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|0.9992\\0.00001\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|0.999997\\0.000000001\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,|0.9999999998\\0.0000000000000001|0.9999999999999999999$

Значение всё ближе и ближе к 1.

Ну, и стоит предположить, что $0^0=1$

И вот мы стали чуть постарше, и с нами такие фокусы уже не прокатят. Попробуем сами посчитать, чему равно $x^x$ при х = 0

Посчитаем предел

$\displaystyle \lim _{x\to 0} x^x= \lim _{x\to 0} e^{\ln x^x}=\lim _{x\to 0} e^{x\ln x}=\exp(\lim _{x\to 0} x\ln x})=\exp(\lim _{x\to 0} x^{-1*-1}\ln x})=\exp(\lim _{x\to 0} \frac{\ln x}{\frac1x}})$

Вот тут интересный момент - мы получили, $\frac\infty\infty$ - что это такое? Нам тут поможет Лопиталь, который когда-то сказал, что если  $\displaystyle \lim _{x\to 0} \frac {f(x)}{g(x)}} = \frac\infty\infty$

то $\displaystyle \lim _{x\to 0} \frac {f(x)}{g(x)}} = \lim _{x\to 0} \frac {f'(x)}{g'(x)}}$

Применим это для нашей формулы

$\displaystyle \exp(\lim _{x\to 0} \frac{\ln x}{\frac1x}})=\exp(\lim _{x\to 0} \frac{\ln 'x}{\frac1x'}})=\exp(\lim _{x\to 0} -\frac{\frac1x}{\frac1{x^2}}})=\exp(\lim _{x\to 0} -x)=e^{-0}=e^0=1$

Ура, мы нашли предел!

Если данные доводы (ого, я их пишу уже 20 минут!) вам непонятны, ПОПРОСИТЕ ОБЪЯСНЕНИЙ В КОММЕНТАРИЯХ