Question

Вычислите площади криволинейных трапеций данных на рисунке. 8.​

Answer 1

$1)\ \int\limits^1_{-1}\, (x^2-2x+1)\, dx=\int\limits^1_{-1}\, (x-1)^2\, dx =\dfrac{(x-1)^3}{3}\Big|_{-1}^1=\dfrac{1}{3}\cdot (0-(-2)^3)=\dfrac{8}{3}\\\\\\2)\ \int\limits^2_0\, (2+2x-x^2)\, dx=\Big(2x+x^2-\dfrac{x^3}{3}\Big)\Big|_0^2=\Big(4+4-\dfrac{8}{3}\Big)-0=\dfrac{16}{3}$

$3)\ \ \int\limits^2_{-2}\, x^2\, dx=2\int\limits^2_0\, x^2\, dx=\dfrac{x^3}{3}\Big|_0^2=\dfrac{1}{3}\cdot (8-0)=\dfrac{8}{3}\\\\\\4))\ \ \int\limits^{\pi }_{\frac{\pi}{4}}\, 3\, sinx\, dx=-3\, cosx\Big|_{\frac{\pi}{4}}^{\pi }=-3\cdot \Big(cos\pi -cos\dfrac{\pi}{4}\Big)=-3\cdot \Big(-1-\dfrac{\sqrt2}{2}\Big)=\\\\\\=\dfrac{3\, (2+\sqrt2)}{2}$