Question

Нужно найти определитель
1 2 2 ... 2
2 1 2 ... 2
2 2 1 ... 2
....................
2 2 2 ... 1

Answer 1

Ответ:

$(2n-1)(-1)^{n-1}$

Пошаговое объяснение:

Пусть порядок определителя n

(1) Вычитаем последнюю строку из всех остальных

(2) Прибавляем к последней строке каждую из остальных строк, умноженные на 2

(3)Разложим определитель по элементам последней строки

(4) Определитель диагональной матрицы порядка n-1 равен произведению ее n-1 диагональных элементов

$\left|\begin{array}{ccccc}1 &2 &2 &... &2\\2 &1 &2 &... &2\\2 &2 &1 &... &2\\...&...&...&...&...\\2 &2 &2 &... &1\end{array}\right|\stackrel{=}{(1)}\left|\begin{array}{ccccc}-1 &0 &0 &... &1\\0 &-1 &0 &... &1\\0 &0 &-1 &... &1\\...&...&...&...&...\\2 &2 &2 &... &1\end{array}\right|\stackrel{=}{(2)}$

$=\left|\begin{array}{ccccc}-1 &0 &0 &... &1\\0 &-1 &0 &... &1\\0 &0 &-1 &... &1\\...&...&...&...&...\\0 &0 &0 &... &1+2(n-1)\end{array}\right|\stackrel{=}{(3)}(1+2(n-1))(-1)^{n+n}\left|\begin{array}{ccccc}-1 &0 &0 &... &0\\0 &-1 &0 &... &0\\0 &0 &-1 &... &0\\...&...&...&...&...\\0 &0 &0 &... &-1\end{array}\right|=\\ =(2n-1)(-1)^{n-1}$