Question

ДАЮ 100 БАЛЛОВ!
Два боковых ребра треугольной пирамиды и заключённая между ними сторона основания равны соответственно 6 дм, 9 дм и 9 дм. Высота пирамиды проходит через центр вписанной в основание окружности и равна $3\sqrt{3}$ дм. Найдите неизвестные стороны основания.

Answer 1

Ответ:

ВС=12 дм

АС=7 дм

Объяснение:

Дано: SABC - пирамида;

SA=6 дм; SВ=9 дм; АВ=9 дм; SО=3√3 дм.

Найти: ВС; АС.

Решение:

1) Найдем SН.

Для этого найдем площадь ΔSAВ по формуле Герона.

Р=SА+SВ+АВ=6+9+9=24 (дм) - периметр

р=24:2=12 (дм) - полупериметр

$S_{SAB}=\sqrt{p(p-SA)(p-SB)(p-AB)}=\sqrt{12*6*3*3}=18\sqrt{2}$ (дм²)

С другой стороны

$S_{SAB}=\frac{1}{2}AB*SH$

$\displaystyle 18\sqrt{2}=\frac{1}{2}*9*SH$

$SH=4\sqrt{2}$  (дм)

2) Найдем ОН=r

Рассмотрим ΔSHO - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

$\displaystyle OH=\sqrt{SH^2-SO^2}=\sqrt{32-27}=\sqrt{5}$ (дм)

3) Найдем АО.

Рассмотрим ΔSАО - прямоугольный.

По теореме Пифагора:

$\displaystyle AO=\sqrt{AS^2-SO^2}=\sqrt{36-27}=3$ (дм)

4) Найдем АН.

Рассмотрим ΔАНО - прямоугольный (радиус ⊥ касательной).

По теореме Пифагора:

$\displaystyle AH=\sqrt{AO^2-OH^2} =\sqrt{9-5}=2$ (дм)

5) АН=АМ=2 дм (отрезки касательных)

ВН=ВК=9-2=7 (дм) (отрезки касательных)

Пусть МС=СК=х (отрезки касательных).

Пулучили: АВ=9 дм; ВС=(7+х) дм; АС=(2+х) дм.

6) Радиус вписанной окружности:

$\displaystyle r=\frac{S}{p}$ , где S - площадь; р - полупериметр.

Выразим площадь (по формуле Герона) и полупериметр ΔАВС:

$\displaystyle p=(9+(2+x)+(7+x)):2=(18+2x):2=9+x$

$\displaystyle S=\sqrt{(9+x)(9+x-9)(9+x-7-x)(9+x-2-x)}=\sqrt{(9+x)*x*2*7}=\sqrt{14x(9+x)}$

Зная радиус вписанной окружности, подставим выражения в формулу и найдем х:

$\displaystyle \sqrt{5}=\frac{\sqrt{14x(9+x)} }{9+x}\\\\\sqrt{5}= \frac{\sqrt{14x} }{\sqrt{9+x} } \\\\5=\frac{14x}{9+x} \\5(9+x)=14x\\9x=45\\x=5$

⇒ ВС=7+5=12 (дм)

АС=2+5=7 (дм)