Question

Верно ли, что для любых чисел x, y выполняется неравенство x2+y2+4x+4y+xy+8≥0? Если да, то докажите; если нет, приведите контрпример.

Answer 1

Ответ:

Неравенство будет выполняться при любых x и y.

Объяснение:

Запишем левую часть неравенства как квадратичную функцию от x

$x^{2} +x(4+y)+(y^{2} +4y+8)$

Вычислим дискриминант

$D=(4+y)^{2} -4(y^{2}+4y+8) =-(3y^{2} +8y+16)$

Значение дискриминанта при любых y будет отрицательное, поэтому  квадратичная форма от x не имеет нулей и будет всегда положительна. Значит неравенство будет выполняться при любых x и y.