Question

ДАЮ 60 БАЛЛОВ!!!!
Товарищи, помогите пожалуйста. Никак не могу понять обратные функции(в частности момент с переназваниями). Почему для функций y = f(x) и x = f¯¹(y) эквивалентны и почему им удовлетворяет пара чисел (x, y), а функции y = f¯¹(x) удовлетворяют (y, x)? Могли бы вы построить каждую из этих функций (на примере функции y = 2x + 1, допустим) и с обозначением осей x и y. И ещё, не понятен момент с множествами X и Y, в обратной функции мы присваивает x множеству Y(x прин. Y) или просто меняем местами оси?
Заранее спасибо​​

Answer 1

Ответ:

А) Рассмотрим задачу на примере вашей функции.

Дана функция y = 2x + 1. Найдем обратную ей функцию.

1) выразим переменную x  через y

2x = y - 1

x = (y - 1) /2

x = 0,5y - 0,5

2) Назовем переменную x как y, а переменную y как x

(проще говоря меняем буквы, там, где стоит x меняем ее на y, а там где стоит y меняем ее на x)

Получаем y = 0,5x - 0,5. Это и есть функция, обратная данной.

Или по другому y = 2x + 1  и y = 0,5x - 0,5 обратные функции.

Эти функции обе линейные, поэтому у каждой из них область определения x ∈ R; область значений y = R (множество действительных чисел).

Б) Найдем обратную функцию для функции y = x² на промежутке x≥0.

√y = √(x²);

√y = x

√x = y.

Функции y = x²  и y = √x являются обратными.

Для функции y = x² область определения x ∈ R,

но для того, чтобы рассмотреть обратную ей, мы рассматриваем только часть области определения, а именно x ≥ 0 (x ∈ [0; +∞)) (корень четной степени из отрицательного числа не существует на множестве действительных чисел)

Область значений y ∈ [0; +∞)

Для функции  y = √x область определения x ∈ [0; +∞), область значений y ∈ [0; +∞)

Графики обратных функций симметричны относительно прямой y = x (прямая проходящая через начало координат и наклонена к оси OX под углом 45°). Область определения исходной функции  D(f) является областью значений обратной ей функции E(f⁻¹).

И наоборот, область значений исходной функции E(f) будет являться областью определения обратной ей функции D(f⁻¹).