Question

Десятичное число 109 в некоторой системе счисления записывается как «214». Определите основание системы счисления.
КАК РЕШАТЬ ТАКИЕ ЗАДАНИЯ? ​

Answer 1

Решение:

1) Давайте сначала запишем уравнение то что известно в первом предложении:

109₁₀ = 214ₓ

2) Обозначаем основание за x. Если число записывается в этой сс как $abc$, запишем квадратное уравнение:

ax² + bx + c = 0

Здесь в в первом предложении сказано что системе счисления записывается как «214», значит 214 (2-x, 1-y, 4-с) будем эти числа ставить  в квадратное уравнение, а то что чем приравнять мы будем использовать десятичное число 109:

2x² + x + 4 = 109

2x² + x = 109 - 4

2x² + x = 105

2x² + x - 105 = 0

D = 1² - 4×2×(-105) = 1 + 840 = 841 = 29²

D>0, значит будет 2 корня

x₁ = -1 + 29/2×2 = 28/4 = 7

x₂ = -1 - 29/2×2 = -30/4 = -7,5 - не подходит

У нас получились два корня - это 7 и -7,5, но нам сказано что определите основание системы счисления, значит мы должны выбрать натуральным основание, это будет 7, а то что -7,5 - не подходит, потому что там отрицательное число, а отрицательное не надо использовать.

3) Значит получится что x в 214 под пунктом 1) будет равен 7:

109₁₀ = 214₇

Ответ: 7