Question

Докажите по индукции данное утверждение, пожалуйста по подробнее

Answer 1

Условие не является полным. Это известное неравенство так называемое неравенство Бернулли и оно гласит, что для $\alpha \geq -1$ имеет место неравенство $(1+\alpha)^n\geq 1+n\alpha,~ n \in Z_+$

1) При $n=0$ база индукции выполнено: $1\geq 1$

2) Предположим, что для $n=k$ имеет место неравенство

$(1+\alpha)^k\geq 1+k\alpha$

3) Докажем, что $(1+\alpha)^{k+1}\geq 1+(k+1)\alpha$

$(1+\alpha)^{k+1}=(1+\alpha)(1+\alpha)^k\geq (1+k\alpha)(1+\alpha)= 1+k\alpha+\alpha+k\alpha^2\geq\\ \\ \geq1+k\alpha+\alpha=1+(k+1)\alpha$

Неравенство верно из предположения 2). Утверждение доказано.