Question

Пусть D(f)=[-5;10]. Найдите область определения функции:
а) y=f(-x)
б) y=|f(-x)|
в) y=f(|-x|)
г) y=f(-|x|)

Answer 1

Ответ:

а) $D(y_{1} )=[-10;5];$ б) $D(y_{2} )=[-10;5]$; в) $D(y_{3} )=[-10;10]$; г) $D(y_{4})=[-5;5]$.

Пошаговое объяснение:

По условию задания нам дана область определения $D(f)$ функции $y=f(x)$, которая равна промежутку по оси $x$ от $[-5;10]$ включая точки $-5$ и $10$.

Требуется найти области определения функций $y=f(-x)$; $y=|f(-x)|$;$y=f(|-x|)$; $y=f(-|x|)$.

а) Если область определения для функции $y=f(x)$ равна $-5\leq x\leq 10$, то для функции $y_{1}=f(-x)$ область определения будет равна:

$-10\leq x\leq 5$, так как добавляя знак "-" для $x$ мы его также добавляем по обе стороны промежутка.

То есть, $D(y_{1} )=[-10;5]$

б) Если область определения для функции $y_{1} =f(-x)$ равна $-10\leq x\leq 5$, то для функции $y_{2} =|f(-x)|$ область определения останется такой же, как и для первого случая:

Поэтому, область определения $D(y_{2} )$ для пункта б будет равна:  $D(y_{2} )=[-10;5]$.

в) Мы знаем, что по определению модуля, число после операции снятия модуля всегда положительное, а значит само число (в нашем случае переменная $x$), может быть как положительным, так и отрицательным под модулем, поэтому для данного случая, когда $y=f(|-x|)$ получим:

* Если переменная $|-x|$ после снятия положительна: $x\geq 0$, тогда: $|-x|=|x|=x$, а значит:

$0\leq x\leq 10$.

* Если же переменная $|-x|$ после снятия модуля отрицательна: $x\leq 0$, тогда: $|-x|=|x|=-x$, а значит:

$0\leq -x\leq 10\\-10\leq x\leq 0$

Совмещая оба промежутка, получаем:

$-10\leq |-x|\leq 10$.

Поэтому область определения $D(y_{3} )$ для пункта в будет равна:

$D(y_{3} )=[-10;10]$.

г) В данном случае под модулем у нас переменная $x$ без знака минус, как в предыдущем случае, но это не означает, что сама переменная может быть как положительная, так и отрицательная, поэтому мы также имеем два случая:

* Если переменная $x$ положительна после снятия модуля: $x\geq 0$, тогда $-|x|=-(x)=-x$, а значит:

$-5\leq -x\leq 10\\-10\leq x\leq 5$

Но, так как переменная у нас положительная, то область определения для данного случая не может быть меньше нуля, а значит:

$0\leq x\leq 5$.

* Если переменная $x$ отрицательна после снятия модуля: $x\leq 0$, тогда $-|x|=-(-x)=x$, а значит:

$-5\leq x\leq 10\\-5\leq x\leq 0$ - так как переменная отрицательная, то область определения для данного случая не может быть больше нуля.

Совмещая оба промежутка, получаем:

$-5\leq -|x|\leq 5$

И область определения $D(y_{4})$ для пункта г будет равна:

$D(y_{4})=[-5;5]$.