Question

Найти общее решение дифференциального уравнения. Под цифрой 3. Не через калькулятор и как можно подробнее.​

Answer 1

$y''=2yy'$

Это дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка, так как оно не содержит в своей записи переменную $x$.

Замена:

$y'=p$

$\Rightarrow y''=p'=\dfrac{dp}{dx}=\dfrac{dp}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dx} =y'\cdot\dfrac{dp}{dy}= p\cdot\dfrac{dp}{dy}$

Получим уравнение:

$p\cdot\dfrac{dp}{dy}=2yp$

Если $p=0$, то есть $y'=0$, то $\boxed{y=C}$

Если $p\neq 0$, то:

$\dfrac{dp}{dy}=2y$

$dp=2ydy$

$\int dp=\int 2ydy$

$p=y^2+C_1$

Обратная замена:

$y'=y^2+C_1$

$\dfrac{dy}{dx} =y^2+C_1$

$\dfrac{dy}{y^2+C_1} =dx$

$\int\dfrac{dy}{y^2+C_1} =\int dx$

$\boxed{\dfrac{1}{\sqrt{C_1}}\mathrm{arctg}\dfrac{y}{\sqrt{C_1}} =x+C_2}$ - общий интеграл уравнения

Выразим функцию в явном виде:

$\mathrm{arctg}\dfrac{y}{\sqrt{C_1}} =x\sqrt{C_1}+C_2\sqrt{C_1}$

$\dfrac{y}{\sqrt{C_1}} =\mathrm{tg}\left(x\sqrt{C_1}+C_2\sqrt{C_1}\right)$

$\boxed{y=\sqrt{C_1}\cdot\mathrm{tg}\left(x\sqrt{C_1}+C_2\sqrt{C_1}\right)}$