Question

!! При каких значениях a корни уравнения 

$3 x ^{3} - (a + 1) x^{2} + (a - 2) x = 0$
взятые в некотором порядке, составляют  арифметическую прогрессию? 

Answer 1

$3x^3-(a+1)x^2+(a-2)x=0$
$x(3x^2-ax-x+a-2)=0$
$x(3x^2-x(a+1)+(a-2))=0$
Рассмтрим сначала $3x^2-x(a+1)+(a-2)=0$
$D=a^2+2a+1-12a+24=a^2-10a+25=(a-5)^2$
$x_1= frac{a+1-(a-5)}{6}= 1$
$x_2= frac{a+1+(a-5)}{6}=frac{a-2}{3}$

Возвращаемся сюда $x(3x^2-x(a+1)+(a-2))=0$
$x(x-1)(x-frac{a-2}{3})=0$

т.е. корни $x=0;1;frac{a-2}{3}$ и пусть они в таком порядке, тогда
чтобы была арифм прогрессия нужно чтобы $frac{a-2}{3}=2$
т.е. $a=8$

Если корни в таком порядке $x=0;frac{a-2}{3};1;$ 
$frac{a-2}{3}= frac{1}{2}$
$a= frac{-7}{2}$

если корни в таком порадке  $x=frac{a-2}{3};0;1;$ 
$frac{a-2}{3}=-1$
$a=-1$