Question

Вычислите предел функции​

Answer 1

Ответ:

$-\dfrac{3\ln3}{2}$

Пошаговое объяснение:

$\lim\limits_{x\to\dfrac{\pi}{3}}\dfrac{e^{\sin^26x}-e^{\sin^23x}}{\log_3\cos6x}=\ln3*\lim\limits_{x\to\dfrac{\pi}{3}}\dfrac{e^{\sin^26x-\sin^23x}-1}{e^{\sin^23x}*\ln(1-2\sin^23x)}=\\ =\left[\lim\limits_{x\to\dfrac{\pi}{3}}\sin^26x-\sin^23x=0-0=0\right]=\ln3*\lim\limits_{x\to\dfrac{\pi}{3}}\dfrac{\sin^26x-\sin^23x}{e^{\sin^23x}*\ln(1-2\sin^23x)}=\\ =\left[\lim\limits_{x\to\dfrac{\pi}{3}}-2\sin^23x=0\right]=\ln3*\lim\limits_{x\to\dfrac{\pi}{3}}\dfrac{\sin^26x-\sin^23x}{e^{\sin^23x}*(-2\sin^23x)}=$

$=\ln3*\lim\limits_{x\to\dfrac{\pi}{3}}\dfrac{4\sin^23x\cos^23x-\sin^23x}{e^{\sin^23x}*(-2\sin^23x)}=\ln3*\lim\limits_{x\to\dfrac{\pi}{3}}\dfrac{4\cos^23x-1}{e^{\sin^23x}*(-2)}=\ln3*\dfrac{4*(-1)^2-1}{e^0*(-2)}=-\dfrac{3\ln3}{2}$

Использован переход к эквивалентным бесконечно малым функциям.

Пусть $\alpha(x)$ - БМФ при $x\to x_0$ . Тогда:

• $e^{\alpha(x)}-1\sim\alpha(x)$
• $\ln(1+\alpha(x))\sim \alpha(x)$