Question

Найдите все пары натуральных чисел(x;y), являющиеся решениями уравнения.(с решением)
1. 3x^2 + y^2 = 13
2. (xy)^2 - 5xy + 6 = 0
3. x^2 - y^2 = 105

Answer 1

Объяснение:

1.

$3x^2+y^2=13\ \ \ \ x\in\mathbb N\ \ \ \ y\in\vathbb N\\y^2=13-3x^2\\y=\sqrt{13-3x^2}$

ОДЗ:

$13-3x^2\geq 0\\3x^2\leq13\ |:3\\ x\leq \frac{13}{3}\approx2,08\ \ \ \ x\in\mathbb N\ \ \ \ \Rightarrow\\x=1,\ 2.$

Подставляем значения х в уравнение:

$3*1^2+y^2=13\\3+y^2=13\\y^2=10\\y=\sqrt{10}\ \notin \mathbb N \ \ \ \ \Rightarrow\\x\neq 1.\\x=2\\3*2^2+y^2=13\\3*4+y^2=13\\12+y^2=13\\y^2=1\\y=1\in.$

Ответ: (2;1).

2.

$(xy)^2-5xy+6=0\ \ \ \ x\in\mathbb N\ \ \ \ y\in\mathbb N$

Пусть ху=t>0    ⇒

$t^2-5t+6=0\\D=1\ \ \ \ \sqrt{D} =1\\t_1=xy=2\ \ \ \ t_2=xy=3.$

Ответ: (1;2), (2;1), (1;3), (3;1).

3.

$x^2-y^2=105\ \ \ \ x\in\mathbb\N\ \ \ \ y\in\mathbb N\\y^2=x^2-105\\y=\sqrt{x^2-105}$

ОДЗ:

$x^2-105\geq 0\\x^2\geq 105\\x\geq \sqrt{105}\\x\geq 10,25\ \ \ \ x\in\mathbb N\ \ \ \ \Rightarrow\\x>10.$

$x^2-y^2=105\\(x+y)*(x-y)=3*5*7$

Так как х>10   ⇒    x+y>10

Имеем три варианта:

1.

$\left \{ {{x+y=3*5} \atop {x-y=7}} \right. \ \ \ \ \left \{ {{x+y=15} \atop {x-y=7}} \right.$

Суммируем эти уравнения:

$2x=22\ |:2\\x=11\ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ \ y=4.$

2.

$\left \{ {{x+y=3*7} \atop {x-y=5}} \right.\ \ \ \ \left \{ {{x+y=21} \atop {x-y=5}} \right.$

Суммируем эти уравнения:

$2x=26\ |:2\\x=13\ \ \ \ \Righyarrow\ \ \ \ y=8.$

3.

$\left \{ {{x+y=5*7} \atop {x-y=3}} \right. \ \ \ \ \left \{ {{x+y=35} \atop {x-y=3}} \right.$

Суммируем эти уравнения:

$2x=38\ |:2\\x=19\ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ y=16.$

Ответ: (11;4), (13;8), (19;16).