Question

При каких значениях m и n, связанных соотношением m+n=3, выражение 4n^2-4mn-3m^2 принимает наименьшее значение.

Answer 1

Выразим из соотношения для переменных одну из переменных:

$m=3-n$

Подставим выражение для m в заданное выражение:

$4n^2-4mn-3m^2=4n^2-4n(3-n)-3(3-n)^2=$

$=4n^2-12n+4n^2-3(9-6n+n^2)=$

$=8n^2-12n-27+18n-3n^2=5n^2+6n-27$

Получившееся выражение можно рассматривать как квадратичную функцию $y=5n^2+6n-27$, принимающую наименьшее значение в вершине. Найдем абсциссу вершины:

$n_B=-\dfrac{6}{2\cdot5} =-0.6$

Находим m:

$m=3-n=3-(-0.6)=3.6$

Таким образом, при $m=3.6$ и $n=-0.6$ заданное выражение принимает наименьшее значение.

Ответ: m=3.6; n=-0.6