Question

1) (y+12) dx=(x-7) dy. Дифференциальное уравнение. Найти общее решение.
2) 2dx/9+x^2=dy, y^'(0)=2. Дифференциальное уравнение. Найти частное решение.

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle y(x)=cx-7c-12\\y(x)=\frac23\arctan\left(\frac x3\right)+2$

Пошаговое объяснение:

$1) \,\,\displaystyle (y+12)dx=(x-7)dy\\\frac{dx}{x-7}=\frac{dy}{y+12}\\\int \frac{dx}{x-7}=\int\frac{dy}{y+12}\\\int \frac{d(x-7)}{x-7}=\int\frac{d(y+12)}{y+12}\\\ln( x-7)+\ln c=\ln(y+12)\\e^{\ln( x-7)+\ln c}=e^{\ln(y+12)}\\c(x-7)=y+12\\y(x)=cx-7c-12\\\\2)\,\, \frac{2dx}{9+x^2}=dy\\\frac{dy}{dx}=\frac2{9+x^2}\\y'=\frac2{9+x^2}\\\int y' dy= \int\frac2{9+x^2}dx\\y=2\int\frac1{9+x^2}dx\\y=\frac23\arctan\left(\frac x3\right)+c\\y(0)=2\Leftrightarrow\frac23\arctan\left(\frac 03\right)+c=2, c=2$