Question

xy'=y/lnx при x=e y=1 помогите пожалуйста​ ​

Answer 1

Ответ:

Общее решение - $y=c\ln x$

Частное решение - $y=\ln x$

Объяснение:

$\displaystyle xy'=\frac{y}{\ln x}\\x*\frac{dy}{dx}=\frac{y}{\ln x}\\x*\frac{dy}{dx}*\frac1y=\frac1{\ln x}\\\frac{dy}{dx}*\frac1y=\frac1{\ln x}*\frac1x\\dy*\frac1y=\frac1{\ln x}*\frac1x*dx\\\int dy*\frac1y=\int \frac1{\ln x}*\frac1x*dx\\\int \frac{dy}y=\int\frac1{\ln x}*\frac{dx}{x}\\\ln y = \int \frac1{\ln x}d\ln x\\\ln y = \int \frac{d\ln x}{\ln x}\ln y =\ln\ln x+c\\e^{\ln y} = e^{\ln\ln x+c}\\y=c*\ln x$

Нашли общее решение, но мы также знаем, что при х = е функция у равна 1, подставим и найдём частное решение:

$y=c\ln x\\1=c\ln e\\1=c*1\\c=1$

Ответ: $y=\ln x$